Théorème d'arrêt - Math'φsics

Théorème d'arrêt

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Première version
Théorème d'arrêt (1ere version) :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une Martingale

\(T\) est un Temps d'arrêt

$$\Huge\iff$$

le Processus \((X_{n\land T})_{n\in\Bbb N}\) est une Martingale

si \(T\) est borné, alors \(X_T\in L^1\) et \({\Bbb E}[X_T]={\Bbb E}[X_0]\)
Démontrer :

(pas la dernière partie)

On définit \(H_n\) l'indicatrice de \(\{T\geqslant n\}\) \(\to\) c'est une Suite prévisible.

\((H\cdot X)_n\) est donc une Martingale.

Par définition des \(H_j\), la somme s'arrête à \(T\land n\).

Et on peut facilement la calculer puisque c'est une somme télescopique.

On a donc une Martingale (car \(((H\cdot X)_n)_n\)) l'est.

Enlever la partie constante conserve le caractère martingale.

Démontrer :

(uniquement la dernière partie)

On prend \(K\) un majorant de \(T\).

Alors \(X_T=X_{K\land T}\) est intégrable.

Et l'espérance est constante pour une Martingale, ce qui permet de conclure.

Deuxième version
Théorème d'arrêt (2e version) :
\((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une Martingale
uniformément intégrable

\(S,T\) sont deux Temps d'arrêt avec \(S\leqslant T\)

$$\Huge\iff$$

\(X_S,X_T\in L^1\)

\(X_S={\Bbb E}[X_T|{\mathcal F}_S]\)

en particulier, \(X_S={\Bbb E}[X_\infty|{\mathcal F}_S]\)

\({\Bbb E}[X_0]={\Bbb E}[X_S]={\Bbb E}[X_T]={\Bbb E}[X_\infty]\)
Résoudre le problème :

On peut représenter le problème via une Martingale.

La martingale devient bornée (donc u.i.) en posant le Temps d'arrêt.

On peut montrer que ce temps d'arrêt est fini \(\overset{ps}\,\) (en utilisant le Lemme de Borel-Cantelli par exemple).

On peut donc résoudre le problème par constance des espérances, via le Théorème d'arrêt.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle hypothèse est très importante (et souvent oubliée) dans le deuxième théorème d'arrêt ?
Verso: La martingale doit être uniformément intégrable.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Rétroliens :
- Martingale
- Théorème d'arrêt